jueves, 21 de junio de 2012

4.1.2 Sistemas de EDL homogeneas.


Sistemas de Ecuaciones Lineales Homogéneos


Anteriormente trabajamos con sistemas de ecuaciones lineales de la forma


donde las  a’s  y  las  b’s  son números reales.

Definición: Un sistema de ecuaciones lineales se llama homogéneo si todas las constantes b1, b2,b3, …, bn son todas ceros.  Esto es, el sistema es de la forma:


En general, al resolver un sistema de ecuaciones lineales encontramos como solución una de estas tres posibilidades: una solución única, ninguna solución o un número infinito de soluciones.  Pero en un sistema de ecuaciones lineales homogéneo hay dos posibilidades: cero como solución (llamada solución trivial) o un número infinito de soluciones adicional a cero como solución (llamada solución no trivial).

Ejemplos(para discusión en clase):





Teorema:  Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tiene un número infinito de soluciones si n > m.
para mayor info consultar

miércoles, 20 de junio de 2012

4.1.1 Sistemas de EDL

Ematemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

    \left \{
        \begin{array}{rcrcrcr}
             3 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + &   \,x_3 & = & 1  \\
             2 \,x_1 & + & 2\,x_2             & + & 4 \,x_3 & = & -2 \\
             - \,x_1 & + & \frac{1}{2} \,x_2  & - &   \,x_3 & = & 0
        \end{array}
    \right .

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como enprocesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.
 general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma normal como:

   \begin{matrix}
      a_{11}x_1 & + a_{12}x_2 & + \dots & + a_{1n}x_n & = b_1 \\
      a_{21}x_1 & + a_{22}x_2 & + \dots & + a_{2n}x_n & = b_2 \\
      \dots     & \dots       & \dots   & \dots       & \dots \\
      a_{m1}x_1 & + a_{m2}x_2 & + \dots & + a_{mn}x_n & = b_m
   \end{matrix}
Donde x_1,\dots,x_n\, son las incógnitas y los números a_{ij}\in\mathbb{K} son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo \mathbb{K}\ [= \R, \mathbb{C}, \dots]. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

   \begin{bmatrix}
      a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
      a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
      \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
      a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
   \end{bmatrix} 
   \begin{bmatrix}
      x_1 \\
      x_2 \\
      \vdots \\
      x_n
   \end{bmatrix} =
   \begin{bmatrix}
      b_1 \\
      b_2 \\
      \vdots \\
      b_m
   \end{bmatrix}
Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

   \mathbf{Ax} = \mathbf{b}
Donde A es una matriz m por nx es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. El sistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provengan los coeficientes.



lunes, 18 de junio de 2012

4.1 Teoría preliminar.


unidad I

4.1 Teoría Preliminar:


TEORÍA PRELIMINAR: ECUACIONES LINEALES
■ Ecuaciones   diferenciales   lineales   de   orden   superior   m     Problema   de   valores   iniciales
m     Existencia y unicidad m   Problema de valores en   la frontera
m     Ecuaciones   diferenciales   homogéneas   y   no   homogéneas   m     Operador   diferencial   lineal
m Dependencia   lineal
 ■     Independencia lineal
  ■ Wronskiano   m     Conjunto fundamental de soluciones
■ Principios   de   superposición   m     Solución   general   m     Función   complementaria   m     Solución particular